第132章 亲家见面

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1.理解正数、负数和0的意义，及用其表示在生活中表示具有相反意义的量；

2.会画数轴，理解有理数的意义，并能在数轴上表示有理数，能比较有理数的大小，能对有理数按一定标准进行分类；

3.借助数轴理解相反数、绝对值的意义，掌握求一个有理数的相反数、绝对值的方法；

1.数轴的三要素及数轴上的点与有理数的关系

2.相反数意义及求一个数的相反数的方法

3.绝对值的化简及其非负性

4.有理数的大小比较

知识点1：正数与负数

一、我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.

1、正数：像、、等的数，叫做正数；

在小学学过的数，除外都是正数，正数都大于.

2、负数：像...等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于；

小贴士：

既不是正数，也不是负数；

一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号；

正数前面的“＋”可以省略，注意与表示是同一个正数.

二、用正.负数表示相反意义的量：

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.

譬如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为.

“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.

例1.在、、﹣3、2、0、4、5、﹣1中，负数有

A.1个 b.2个 c.3个 d.4个

【答案】c

【解析】在、、﹣3、2、0、4、5、﹣1中，负数有在、﹣3、﹣1共3个.

练习1.下列各数中，不是负数的是

A.﹣2 b.3 c. d.﹣0.10

【答案】b

【解析】解：A、﹣2是负数，故本选项不符合题意；

b、3是正数，不是负数，故本选项符合题意；

c、是负数，故本选项不符合题意；

d、﹣0.10是负数，故本选项不符合题意；

正负数的判断→正数：大于0的数

负数：在正数前面加上“－”号的数

例2.下列说法正确是

A.0c表示没有温度

b.0既可以看作是正数，又可以看作是负数

c.0既不是正数，也不是负数

d.以上说法都不正确

【答案】c

【解析】0c不代表没有温度，它也是一个温度值。0是正数与负数的分界，所以它既不是正数，也不是负数。

0既不是正数，也不是负数。

例3.冰箱冷藏室的温度零上5c，记作 5c，保鲜室的温度零下7c，记作

A.7c b.﹣7c c.2c d.﹣12c

【答案】b

【解析】∵冰箱冷藏室的温度零上5c，记作 5c，

∴保鲜室的温度零下7c，记作﹣7c.故选：b.

练习1.在下列各组中，表示互为相反意义的量是

A.上升与下降

b.篮球比赛胜5场与负5场

c.向东走3米，再向南走3米

d.增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食

【答案】b

【解析】A、上升的反义词是下降是正确的，但这句话没有说明是哪两个量，故选项错误；

b、胜与负是有相反意义的量，故选项正确；

c、向东走3米与向南走3米不是具有相反意义的量，故选项错误；

d、减产﹣10吨，就是增产10吨，故选项错误.

（1）相反意义的量必须具备两个要素：一是它们必须是同类量且表示的意义恰好相反，也就是说这两个量的单位相同；二是它们都具有数量，但数量不一定相等。

（2）相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为相反意义的量。

（3）习惯上把“前进”、“上升”、“收入”、“零上”等规定为正，把“后退”、“下降”、“支出”、“零下”等规定为负。

例4、体育课上对七年级（1）班的8名女生做仰卧起坐测试，若以16次为达标，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示.现成绩抄录如下：

2， 2，﹣2， 3， 1，﹣1，0， 1.问：

（1）有几人达标？

（2）平均每人做几次？

【答案】

【解答】解：（1）∵16次为达标，超过的次数用正数表示，

∴达标的人数6人.

（2）八名女生所做的总次数是：（16 2） （16 2） （16﹣2） （16 3） （16 1） （16﹣1） 16 （16 1）=134，

所以平均次数是=16.75.

练习1.下列是10个同学的体温测量结果，以36.9为标准体温，请用正负数的形式表示这些同学的体温与标准体温之间的关系。（高出标准体温的部分用正数表示，低于标准体温的部分用负数表示）

李明 36.5张华36.8李丽37.5刘芳38.5魏红36

张力37.2张伟36.7杨明37肖燕38孙芳36.6

姓名 李明 张华 李丽 刘芳 魏红 张力 张伟 杨明 肖燕 孙芳

与标准体温之间的关系

【答案】见解析

【解析】

姓名 李明 张华 李丽 刘芳 魏红 张力 张伟 杨明 肖燕 孙芳

与标准体温之间的关系 -0.4 -0.1

0.6

1.6 -0.9

0.3 -0.2

0.1

1.1 -0.3

（1）根据实际需要确定某个数据为基准，不同的问题，基准可能不同，确定基准后，视基准为0，超过基准的部分记为正，不足基准的部分记为负

（2）确定基准的意义是便于日常统计和计算，在以后的学习过程中会涉及。

例5.“牛牛”饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30（mL）”字样，请问“500±30（mL）”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，问抽查产品的容量是否合格？

【答案】见解析

【解析】解：“500±30（mL）”是500ml是标准容量，470﹣﹣530ml是合格范围，

503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，抽查产品的容量是合格.

（1）表示在基数的基础上多或少

（2）常见用途：确定净含量的范围或表示加工误差的范围

知识点2：有理数的分类

一、整数和分数统称为有理数

整数：正整数、0、负整数统称为整数

分数：正分数、负分数统称为分数

二、有理数的分类

1、按整数、分数的关系分类

2、按大小分类

例1.下列四个数中，正整数是

A.﹣2 b.﹣1 c.0 d.1

【答案】d

【解析】解：A、﹣2是负整数，故选项错误；

b、﹣1是负整数，故选项错误；

c、0是非正整数，故选项错误；

d、1是正整数，故选项正确.

练习1.在如下的一些数中：﹣3，3.14，﹣20，6.8，﹣，﹣32中是负整数的个数为

A.1个 b.2个 c.3个 d.4个

【答案】c

【解析】解：﹣3，﹣20，﹣32是负整数。

理解正整数和负整数的分类依据

例2.下列说法正确的是

A.有理数是指整数、分数、零、正有理数、负有理数这五类

b.一个有理数不是正数就是负数

c.一个有理数不是整数就是分数

d.以上说法都正确

【答案】c

【解析】根据有理数的定义，有理数可分为整数和分数，或分为正有理数，0，负有理数，故A错误，b中0是有理数，但不是正数也不是负数，故错误，c有理数可分为整数和分数。

正确理解有理数的意义和分类方法

例3.把下列各数填入相应的集合里：

﹣3，，﹣3.14，0，﹣1.…，2.5，，

正数集合：{…}；

整数集合：{…}；

负分数集合：{…}；

无理数集合：{…}.

【答案】见解析

【解析】

正数集合：{2.5，，，…}；

整数集合：{﹣3，0，…}；

负分数集合：{，﹣3.14，…}；

无理数集合：{﹣1.…，，…}.

练习1.把下列各数填在相应的大括号内：

15，，0.81，-3.1，-4，171，0，3.14，

正数集合：｛…｝

负数集合：｛…｝

正整数集合：｛…｝

负整数集合：｛…｝

有理数集合：｛…｝

【答案】见解析；

【解析】

正数集合：｛ 15，0.81，171，3.14，…｝

负数集合：｛，-3.1，-4，…｝

正整数集合：｛15，171，0，…｝

负整数集合：｛-4…｝

有理数集合：｛15，， 0.81，-3.1，-4， 171， 0， 3.14…｝

（1）分类必须按照同一个标准进行，要注意不能重复；

（2）0是整数，不是分数；

（3）“正”和“整”注意相区别；

（4）有限小数和无限循环小数都属于分数；

知识点3：数轴

1.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴，数轴的画法如下：

1画一条水平的直线

2在直线上适当选取一点为原点

3确定向右为正方向，用箭头表示出来

4根据需要选取适当的长度作为单位长度，从原点向左、向右每隔一个单位长度取一点。

2.数轴的注意点：

1数轴的三要素：原点、正方向和单位长度；

20是正数和负数的分界；原点是数轴的“基准点”；

3画数轴的步骤可以概括为：一画，二定，三选，四标

4原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；

3.数轴上的点与有理数的关系

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

例1.以下是四位同学画的数轴，其中正确的是

A. b.

c. d.

【答案】d

【解析】解：A、没有原点，错误；

b、单位长度不统一，错误；

c、没有正方向，错误；

d、正确.

判定数轴，紧抓数轴三要素：原点、单位长度和正方向，三者缺一不可。

例2.在数轴上表示出下列各有理数

0，-2.5，-1，3.5

【答案】见解析

【解析】首先画出数轴，然后找点

（1）画数轴：根据已知数的特点确定恰当的原点位置和单位长度，数轴三要素不可缺少；

（2）找点：先确定这个数是正数还是负数，再在原点右侧找正数所对应的点，在原点左侧找负数所对应的点，最后抓住这个数距离原点的长度确定点的位置，并用实心小圆点描出。

例3.指出如图形所示的数轴上的A、b、c、d、E、F各点分别表示什么数？

【答案】见解析。

【解析】解：由图可知，A点表示：﹣4；b点表示：﹣2.5；c点表示：﹣0.5；d点表示：0；E点表示：2；F点表示3.5.

练习1.小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东，跑回到自己家.

（1）以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点b表示出小红家，用点c表示出学校的位置；

（2）求小彬家与学校之间的距离；

（3）如果小明跑步的速度是250m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？

【答案】见解析

【解析】解：（1）如图所示：

（2）小彬家与学校的距离是：2﹣（﹣1）=3（km）.

故小彬家与学校之间的距离是3km；

（3）小明一共跑了（2 1.5 1）x2=9（km），

小明跑步一共用的时间是：9000÷250=36（分钟）.

答：小明跑步一共用了36分钟长时间.

对于建立数轴解决实际问题的方法：

（1）根据题意，先确定一个恰当的位置为原点，再选定一个方向为正方向，结合已知数据确定合适的单位长度；

（2）画出数轴，标出已知数据对应点的位置；

（3）将问题转化到图形中，数形结合，抓住两点间的距离解决问题。

知识点4：相反数

1.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。互为相反数的两个数，相加为0。

相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。

相反数的特征：

（1）若a与b互为相反数，则a b=0；

（2）若a b=0，则a与b互为相反数；

2.求一个相反数的方法：

（1）求一个具体数的相反数时，只要改变这个数前面的符号，即可以得到这个数的相反数。

（2）求一个字母或者式子的相反数时，也是只需在这个字母或这个式子的整体前面加上“－”号。

例1.﹣5的相反数是

A.5 b.﹣5 c. d.

【答案】A

【解析】解：﹣5的相反数是5。

练习1. （﹣3）的相反数是

A.﹣（ 3） b.﹣3 c.3 d.

【答案】c

【解析】解： （﹣3）=﹣3，﹣3的相反数是3.

求相反数的方法：只需将各数前面的正负号换一下即可，但要注意0的相反数是0.

例2.下列说法中，正确的是

A.因为相反数是成对出现的，所以0没有相反数

b.数轴上原点两旁的两点表示的数是互为相反数

c.符号不同的两个数是互为相反数

d.正数的相反数是负数，负数的相反数是正数

【答案】d

【解析】解：A、0的相反数为0，所以A选项错误；

b、数轴上原点两旁且到原点的距离的点所表示的数是互为相反数，所以b选项错误；

c、符号不同且绝对值相等的两个数是互为相反数，所以c选项错误；

d、正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，所以d选项正确.

（1）相反数一定是成对出现，不能单独存在，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

（2）相反数的定义：像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；定义中的“只有”和“两个数”是关键词。

例3.化简下列各数：﹣（﹣68）=，﹣（ 0.75）=，﹣（﹣）=.

【答案】见解析

【解答】解：﹣（﹣68）=68；

﹣（ 0.75）=﹣0.75；

﹣（﹣）=.

故答案为：68；﹣0.75；.

练习1.化简下列各式

（﹣7）=，﹣（ 1.4）=， （ 2.5）=，﹣[ （﹣5）]=；﹣[﹣（﹣2.8）]=，﹣（﹣6）=，﹣[﹣（ 6）]=.

【答案】见解析

【解答】解： （﹣7）=﹣7，﹣（ 1.4）=﹣1.4， （ 2.5）=2.5，﹣[ （﹣5）]=5；﹣[﹣（﹣2.8）]=﹣2.8，﹣（﹣6）=6，﹣[﹣（ 6）]=6.

故答案为：﹣7，﹣1.4，2.5，5，﹣2.8，6，6.

多重符号的结果由“一”号的个数决定，与“ ”号的个数无关，最后结果为正时，符号“ ”一般都省略不写。

例4.的相反数是2，则=；

若互为相反数，则=

的相反数是

【答案】=（ 2），=（1），

【解析】相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，互为相反数的两个数，相加为0。

练习1.若2（a 3）的值与4互为相反数，则a的值为.

【答案】-5

【解析】解：由题意，得2（a 3） 4=0，解得a=﹣5，故答案为：﹣5.

（1）求一个数的相反数，只需改变这个数的符号即可，即正号变负号，负号变正号。

（2）互为相反数的两个数，相加得0.

例5.若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m是最大的负整数.求代数式的值.

【答案】

【解析】解：根据题意：a b=0，cd=1，m=﹣1，

则代数式=2（a b）﹣ =0﹣ 1=.

练习1.已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数.计算：3a 3b c的值是多少？

【答案】见解析

【解析】解：∵a是﹣（﹣5）的相反数，

∴a=﹣5，

∵b比最小的正整数大4，

∴b=1 4=5，

∵c是最大的负整数，

∴c=﹣1，

∴3a 3b c=3x（﹣5） 3x5﹣1，

=﹣15 15﹣1，

=﹣1.

（1）若两个数互为相反数，则这两数相加得0；

（2）若两数互为倒数，则这两数相乘的1；

知识点5：绝对值及其有关性质

1.绝对值：

（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点到原点的距离，数的绝对值记作。

注：表示数、数对应的两点间的距离。

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0

2.化简绝对值：去绝对值的符号法则

3.绝对值的非负性

1从“形”的角度来看，绝对值表示的是数轴上的点到原点的距离，而距离的最小值为0，所以任何有理数的绝对值只能是正数或者0.

2从“数”的角度来看，≥0，当≠0时，＞0；当=0时，=0。因此，任何一个数的绝对值总是非负的。

例1.下列各式中，不成立的是

A、=5

b、

c、

d、

【答案】d

练习1.绝对值等于9的数是

A.9 b.﹣9 c.9或﹣9 d.

【答案】c

【解析】解：∵|9|=9，|﹣9|=9，∴绝对值等于9的数是9或﹣9.

求一个数绝对值的方法：先判断这个数是正数还是负数，再根据“正数的绝对值等于她本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数”的原理，求出这个数的绝对值。

例2.下列说法中，正确的是

A.若a＞b，则|a|＞|b|

b.若|﹣a|＞|﹣b|，则a＜b

c.若a为有理数，则|a|＞0 d.若a为有理数，则|a|≥0

【答案】d

【解析】A、如果a=﹣1，b=﹣3，那么有a＞b，但是a|＜|b|.故错误；

b、如果a=3，b=1，那么有|﹣a|＞|﹣b|，但是a＞b.故错误；

c、如果a=0，那么|a|=0.故错误；

d、任何数的绝对值都是非负数，正确.

练习1.下列说法中，正确的个数为，

1若m＞n，则|m|＞|n|；

2若|m|＞|n|，则m＞n；

3若m=n，则|m|=|n|；

4若|m|=|n|，则m=n；

5若|a|=a，则a＞0；

6若x＜0，y＜0，且x＜y，则|x|＜|y|.

A.0 b.1 c.2 d.3

【答案】b

【解析】1若m＞n，则|m|＞|n|，错误；

2若|m|＞|n|，则m＞n，错误；

3若m=n，则|m|=|n|正确；

4若|m|=|n|，则m=n，错误；

5若|a|=a，则a＞0错误；

6若x＜0，y＜0，且x＜y，则|x|＜|y|错误。

根据绝对值的几何意义和代数意义，判断等式与不等式是否正确。

例3.已知|x|=4，|y|=，且xy＜0，则x﹣y的值等于.

【答案】见解析

【解析】解：∵|x|=4，|y|=，

∴x=±4，y=±，

∵xy＜0，

∴当x=4时，y=﹣，x﹣y=4 =；

当x=﹣4时，y=，x﹣y=﹣4﹣=.

故答案为：或﹣.

练习1.如图所示，a、b是有理数，则式子|a| |b| |a b| |b﹣a|化简的结果为.

【答案】见解析

【解析】解：∵由数轴上a、b两点的位置可知，﹣1＜a＜0，b＞1，

∴a b＞0，b﹣a＞0，

∴原式=﹣a b a b b﹣a=3b﹣a.

故答案为：3b﹣a.

求一个数的绝对值必须先判断其是正数、负数和0.

例4.若|a﹣1| |b﹣2|=0，那么2ab=

A.﹣4 b. 4 c.﹣8 d. 8

【答案】b

【解答】解：由题意得，a﹣1=0，b﹣2=0，

解得，a=1，b=2，

2ab=4.

练习1.若，求的值。

【答案】见解析。

【解析】根据绝对值的非负性可得，，，，

所以，

绝对值的非负性